Fractales

El término fractal fue acuñado por el profesor Mandelbrot (1975) para designar objetos matemáticos de estructura irregular y compleja que se encuentran presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza. Lo utilizó  para referirse a ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:

  • Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel global.
  • Son autosemejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al conjunto total. Esta característica significa que un fractal puede descomponerse en partes de forma que, cada una de ellas, contiene una réplica idéntica al todo.
  • Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su construcción se basa en un algoritmo sencillo.

Un fractal es el producto final que se genera mediante la iteración infinita de un proceso geométrico específico, en general muy simple. Esta simplicidad en la construcción produce, sin embargo, objetos que presentan una extraña complejidad y, en ocasiones, una belleza espectacular.

La propiedad de autosemejanza hay que entenderla estrictamente para las construcciones fractales geométricas, mientras en los objetos naturales lo que se encuentra es un gran parecido observando el fractal bajo diferentes escalas. Es decir, al hacer un “zoom” en dicho objeto, se encuentran porciones del mismo que, aunque no son idénticas al objeto completo, sí tienen un enorme parecido a él. Para comprenderlo de una forma intuitiva, basta pensar en algunos árboles, en los helechos, en una coliflor, como ejemplos de fractales naturales.

Un elemento importante en el estudio de esta Geometría es el de dimensión. Dentro del espacio euclídeo tridimensional, decimos que un punto tiene dimensión 0, que una recta o una curva tienen dimensión 1 y un plano dimensión 2. También existen espacios euclídeos n-dimensionales donde “n” es mayor que 3, pero en todos estos casos “n” es un número entero. Sin embargo, el estudio de ciertos objetos “raros” obligó a revisar este concepto. En la geometría fractal hablamos de dimensiones fraccionarias. Así, una curva que imita la forma de una costa, con sus múltiples irregularidades, tiene una dimensión algo mayor que 1, pero menor que 2. Otro ejemplo se obtiene al tomar como figura inicial un triángulo equilátero cuyos lados miden 1 unidad, sustituyendo el tercio central de cada lado por otro triángulo equilátero, con lados de longitud 1/3 , y repitiendo el proceso hasta el infinito, se alcanza el fractal denominado copo de nieve de Koch cuya dimensión es 1.26186…

A todos los niveles de la Naturaleza, desde el astronómico al microscópico, encontramos estructuras fractales, más exactamente, objetos que podemos modelizar o simular mediante la geometría fractal: paisajes y mundos de gran complejidad y extraña belleza.

Acerca de matematicasvalledeljerte

Mª Isabel Miranda Rodríguez. Departamento de Matemáticas, IES "Valle del Jerte".
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