Geometría

La Geometría es una rama de la matemática cuyo origen se remonta a la solución de problemas concretos relativos a medidas y al estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, admitiéndose que son los egipcios los “inventores”  de la geometría, aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmula ( algoritmos expresados en forma de “receta”) para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De ahí el nombre Geometría (γεωμετρία): “medición de la tierra”.
El conocimiento de esta civilización sobre geometría (así como los de las culturas mesopotámicas) pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.
Euclides (325- 265 a. C.) es considerado el padre de la Geometría. Su obra “Los Elementos”, es una de las obras científicas más conocidas del mundo. Propone un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Sobre, tan sólo, cinco postulados

  1. Dos puntos determinan una única recta.
  2. Todo segmento de recta puede prolongarse en cualquier dirección.
  3. Es posible construir un círculo dados su centro y su radio.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única recta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto.

construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento.Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta el siglo XIX.
La aparición de la Geometría Analítica, creada por Descartes (1596-1650) marca la Geometría en la Edad Moderna. El sistema cartesiano establece una correspondencia entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Se cambia la regla y el compás clásicos por expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas y las figuras geométricas, tales como las curvas planas,  son representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.
La Geometría Analítica supone un cambio en el tratamiento de los problemas pero se sigue teniendo como base la geometría euclidiana. Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero durante muchos siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema que puede deducirse de los demás.
Gauss (1777-1855)  fue el primero en considerar la posibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero consideró que la mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Son Bolyai (1802-1860) y Lobatchevsky (1792-1856) quienes, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica el V postulado.
Ambos parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en “Los Elementos”, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario, han de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:

  1. El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.
  2. Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada.

Aparecieron de esta manera las geometrías no euclidianas, donde son posibles otros espacios sorprendentes y maravillosos.

Posteriormente Riemann (1826–1866) introduce el concepto de “variedad diferenciable” que permite, por primera vez,  el estudio de objetos geométricos n-dimensionales.  Las ideas de Riemann, muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.

 

Acerca de matematicasvalledeljerte

Mª Isabel Miranda Rodríguez. Departamento de Matemáticas, IES "Valle del Jerte".
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